Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E為AB上一點，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD．
求證：（1）AE=BE；　 （2）CD=AD+BC．

Answer 1

（1）證明：如圖所示：

取CD中點F，連接EF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠EDC=∠ADE=∠ADC，∠DCE=∠DCB，
∴∠EDC+∠DCE=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∵F為CD中點，
∴DF=EF=CF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠CDE=∠DEF，
∵∠EDC=∠ADE，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∵CF=DF，
∴AE=BE；

（2）證明：∵AD∥BC，AE=BE，CF=DF，
∴EF=（AD+BC），
∵由（1）知EF=DF=CF=CD，
∴CD=AD+BC．
分析：（1）取CD中點F，連接EF，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠ADC+∠DCB=180°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠EDC+∠DCE=90°根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DEC=90°，推出EF=CF=DF，推出∠DEF=∠FDE=∠ADE，推出EF∥AD∥BC，根據(jù)CF=DF推出即可；
（2）由（1）得出EF是梯形的中位線，推出EF=（AD+BC），由（1）得出EF=CF=DF=CD，即可得出答案．
點評：本題考查的知識點有梯形的中位線，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)等，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．