Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．
（1）求證：∠DAF=∠CDE；
（2）問△ADF與△DEC相似嗎？為什么？
（3）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據四邊形ABCD是平行四邊形，得出AD∥BC，∠B=∠ADC，再由∠AFE=∠B可得出∠AFE=∠ADC，通過等量代換可得出∠DAF=∠CDE；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得出AD∥BC，AB∥CD，∠ADE=∠CED，∠B+∠C=180°，再由∠AFE=∠B，可得出∠AFD=∠C，故可得出結論；
（3）先由四邊形ABCD是平行四邊形，可得出AD∥BC，CD=AB=4，再由AE⊥BC，得出AE⊥AD，由勾股定理求出DE的長，由△ADF∽△DEC可得出兩三角形的邊對應成比例，進而可得出AF的長．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠B=∠ADC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠ADC，
∵∠AFD=180°-∠AFE，∠C=180°-∠ADC，
∴∠AFD=∠C，
∴∠DAF=∠CDE；

（2）解：△ADF∽△DEC．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADE=∠CED，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC  CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，DE===6
∵△ADF∽△DEC，
∴=，
∴=，
∴AF=2．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，勾股定理及平行四邊形的性質，此題有一定的綜合性，難度適中．