Question

如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，矩形ABCD的邊AD與x軸的正半軸重合，另三邊都在第四象限內，已知點A（1，0），AB=2，AD=3，點E為OD的中點，以AD為直徑作⊙M，經(jīng)過A、D兩點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點為P．
（1）求經(jīng)過C、E兩點的直線的解析式；
（2）如果點P同時在⊙M和矩形ABCD內部，求a的取值范圍；
（3）過點B作⊙M的切線交邊CD于F點，當PF∥AD時，判斷直線CE與y軸的交點是否在拋物線上，并說明理由．

Answer 1

解：
（1）由題意得E（2，0），C（4，-2）
故易得直線CE的解析式為y=-x+2

（2）A（1，0），D（4，0）代入拋物線
解析式得y=ax²-5ax+4a
定點（）
∴
得0＜a＜

（3）設DF=d，則3²+（2-d）²=（2+d）²
∴d=
由a=知a=，∴y=x²+（-）x+2，把（0，2）代入可知CE與y軸的交點在拋物線上．
分析：（1）利用待定系數(shù)法易得直線CE的解析式為y=-x+2；
（2）A（1，0），D（4，0）代入解析式得y=ax²-5ax+4a，可知定點（），根據(jù)點P同時在⊙M和矩形ABCD內部可列不等式，解得0＜a＜；
（3）設DF=d，則3²+（2-d）²=（2+d）²，得d=，根據(jù)a=，可知a=，所以y=x²+（-）x+2，把（0，2）代入可知CE與y軸的交點在拋物線上．
點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和圓的有關性質，函數(shù)圖象上點的意義等．要熟練掌握才能靈活運用．