Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A（－1，0），與y軸交于C（0，－2）；直線經過點A且與拋物線交于另一點B．

（1）直接寫出拋物線的解析式 ；

（2）如圖（1），點M是拋物線上A，B兩點間的任一動點，MN⊥AB于點N，試求出MN的最大值 ，并求出MN最大時點M的坐標；

（3）如圖（2），連接AC，已知點P的坐標為（2，1），點Q為對稱軸左側的拋物線上的一動點，過點Q作QF⊥x軸于點F，是否存在這樣的點Q，使得∠FQP＝∠CAO．若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－x－2 ；（2）；M（，）；（3）存在；（，）或（，）

【解析】

（1）把A，C兩點坐標代入y＝x2＋bx＋c求出b，c的值即可；

（2）過點M作ME⊥x軸于點D，交AB于點E，設M(m，m2－m－2)，則E(m，m＋),可求出ME＝－m2＋m＋，證明△AED∽△MEN得MN＝－m2＋m＋，利用二次函數的性質可得結論；

（3）點Q有兩個位置，使得∠FQP＝∠CAO，分別求出此時PQ的解析式，與拋物線方程聯立方程組，求出方程組的解即為Q點的坐標.

解：（1）將A（-1,0），C（0，-2）代入解析中得

，解得

∴拋物線的解析式為y＝x2－x－2，

（2）如圖，過點M作ME⊥x軸于點D，交AB于點E.

設M(m，m2－m－2) (－1≤m≤)，

則E(m，m＋),

ME＝(m＋)－(m2－m－2)＝－m2＋m＋.

在△AED與△MEN中，∠AED＝∠MEN，∠ADE＝∠MNE，

∴△AED∽△MEN，

∴，

∴MN＝ME＝(－m2＋m＋)＝－m2＋m＋ (－1≤m≤)，

∴當時，MN最大，為，

此時M（，）.

（3）存在，

由題易知，拋物線的對稱軸為直線，

過點P作PG⊥y軸于點G，連接OP，

容易發現OG＝OA＝1，PG＝OC＝2，∠PGO＝∠COA＝90°，

∴△PGO≌△COA，

∴∠POG＝∠CAO，

延長PO交拋物線于點Q1，過Q1作Q1F1⊥x軸于點F1，

此時∠F1Q1P＝∠POG＝∠CAO.

易知直線OP的解析式為,

令，

解得，（舍去），

∴.

同理，在y軸上找一點O′，使O′G＝OG＝1，

容易證明△PGO′≌△COA，

∴∠PO′G＝∠CAO，

延長PO′交拋物線于點Q2，

過點Q2作Q2F2⊥x軸于點F2，

此時，∠F2Q2P＝∠PO′G＝∠CAO.

易知直線O′P的解析式為，

令，

解得，（舍去），

∴.

∴點Q的坐標為（，）或（，）.