Question

閱讀與探究：已知公式(x-1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…anxn
（1）a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n=

0

；
（2）當n=10時，(x-1)10=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…a10x10，則a₁+a₃+a₅+a₇+a₉=

-2⁹

；
（3）在公式(x-1)n=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…anxn中，a₀+a_n=

0或2

．

Answer 1

分析：從最簡單的分析，當n=1時，a₀=-1，a₁=1；當n=2時，a₀=1，a₁=-2，a₂=1；當n=3時，a₀=-1，a₁=-3，a₂=3，a₃=1；當n=4時，a₀=1，a₁，=-4，a₂，=6，a₃，=-4，a₄=1…從上面可以看出：
（1）無論n為任意自然數，a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n=0；
（2）當n為奇數時，系數有n+1項是符號按-，+，…，-，+排列，當n為偶數時，系數有n+1項符號是按+，-，…，+，-，+排列，數值為對稱型：1，…，1；都看做正的，其系數和為2ⁿ，奇數項系數和等于偶數項系數和=2^n-1；
（3）當n為奇數時，a₀，=-1，a_n=1；當n為偶數時，a₀，=1，a_n=1；有以上規律求解．

解答：解：（1）a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n=0；
（2）當n=10時，a₁、a₃、a₅、a₇、a₉都是負的，所以a₁+a₃+a₅+a₇+a₉=-2^10-1=-2⁹；
（3）當n為奇數時，a₀，=-1，a_n=1，a₀+a_n=0；當n為偶數時，a₀，=1，a_n=1，a₀+a_n=2．
故答案為：（1）0；（2）-2⁹；（3）0或2．

點評：此題從簡單情形出發，找出規律，解決問題．