Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點D，過點D的切線交BC邊于點E．
（1）求證：點E是BC邊的中點；
（2）連接OC交DE于點F，若CF=OF，求cosA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證明BE是⊙O的切線，根據DE切⊙O，由切線長定理得EB=ED，則EC=ED，從而得出答案；
（2）由已知條件得EF∥BO，則得出∠DOA=90°，根據OA=OD，求出∠A=∠ODA=45°，再計算出cosA的值．
解答：（1）證明：連接OD、BD，
∵∠ABC=90°，BA為⊙O的直徑，
∴BE是⊙O的切線，∠BDA=90°，
又∵DE切⊙O于點D，
∴EB=ED，
∴∠CBD=∠EDB，
∵∠BDA=90°，
∴∠CDB=90°，
∴∠EDB+∠CDE=90°，∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠CDE=∠ACB，
∴EC=ED．
∴EB=EC，
即點E是BC邊的中點；

（2）解：∵CF=OF，EC=EB，
∴EF∥BO，
∴∠DOB+∠EDO=180°，
∵∠EDO=90°，
∴∠DOB=90°，
∴∠DOA=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=45°，
∴cosA=．
點評：本題是一道關于圓的題目，考查了銳角三角函數、切線的判定和性質，切線長定理以及平行線的判定，是基礎知識要熟練掌握．