Question

（2013•蘇州一模）如圖（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．
（1）試猜想線段BG和AE的關系（位置關系及數量關系），請直接寫出你得到的結論：
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一角度a后（0°＜a＜90°），如圖（2），通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由：
（3）若BC=DE=m，正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉角度a（0°＜a＜360°）過程中，當AE為最大值時，求AF的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰直角三角形的性質和正方形的性質得出DG=DE，AD=BD，進而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延長EA分別交DG、BG于點N、M兩點，首先證明△BDG≌△ADE，進而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點D逆時針旋旋轉270°，即A，D，E在一條直線上時，AE最大，進而求出即可．

解答：解：（1）如圖（1），
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中

BD=AD ∠BDG=∠ADE DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延長EA到BG于一點M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴線段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，
如圖（2），延長EA分別交DG、BG于點N、M兩點，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中

BD=AD ∠BDG=∠ADE DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點D逆時針旋旋轉270°，即A，D，E在一條直線上時，AE最大；
∵正方形DEFG在繞點D旋轉的過程中，E點運動的圖形是以點D為圓心，DE為半徑的圓，
∴當正方形DEFG旋轉到G點位于BC的延長線上（即正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉270°）時，BG最大，如圖（3），
若BC=DE=m，則AD=

m

2

，EF=m，
在Rt△AEF中，AF²=AE²+EF²=（AD+DE）²+EF²=

13

4

m²，
∴AF=

13

2

m，即在正方形DEFG旋轉過程中，當AE為最大值時，AF=

13

2

m．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及旋轉的性質和全等三角形的判定與性質等知識，結合圖形得出全等圖形是解題關鍵．