Question

如圖，拋物線經過△ABC的三個頂點，點A坐標為（0，3），點B坐標為（2，3），點C在x軸的正半軸上．
（1）求該拋物線的函數關系表達式及點C的坐標；
（2）點E為線段OC上一動點，以OE為邊在第一象限內作正方形OEFG，當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時，求線段OE的長；
（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當點E和點C重合時停止運動．設平移的距離為t，正方形DEFG的邊EF與AC交于點M，DG所在的直線與AC交于點N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）在上述平移過程中，當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數關系式及自變量t的取值范圍；并求出當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）。C（6，0）。
（2）OE=2。
（3）存在滿足條件的t．理由見解析
（4）當t=時，S取得最大值，最大值為1。

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，令y=0解方程，求出點C的坐標。
（2）如答圖1，由△CEF∽△COA，根據比例式列方程求出OE的長度。
（3）如答圖2，若△DMN是等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論。
（4）當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，如答圖3，由S=S_{正方形DEFG}﹣S_梯形MEDN﹣S_△FJK求出S關于t的表達式，然后由二次函數的性質求出其最值。
解：（1）∵拋物線經過點A（0，3），B（2，3），
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：。
令y=0，即，解得x=6或x=﹣4。
∵點C位于x軸正半軸上，∴C（6，0）。
（2）當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時，如答圖所示：

設OE=x，則EF=x，CE=OC﹣OE=6﹣x．
∵EF∥OA，∴△CEF∽△COA。
∴，即。
解得x=2．∴OE=2。
（3）存在滿足條件的t．理由如下：
如答圖，

易證△CEM∽△COA，
∴，即，得。
過點M作MH⊥DN于點H，
則DH=ME=，MH=DE=2。
易證△MNH∽△COA，∴，即，得NH=1。
∴DN=DH+HN=。
在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=。
當△DMN是等腰三角形時：
①若DN=MN，則=，解得t=。
②若DM=MN，則DM²=MN²，即2²+（）²=（）²，解得t=2或t=6（不合題意，舍去）。
③若DM=DN，則DM²=DN²，即2²+（）²=（）²，解得t=1。
綜上所述，當t=1、2或時，△DMN是等腰三角形。
（4）當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，如答圖，

設EF、DG分別與AC交于點M、N，
由（3）可知：ME=，DN=．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
將點B（2，3）、C（6，0）代入得：
，解得。
∴直線BC的解析式為。
設直線BC與EF交于點K，
∵x_K=t+2，∴。
∴。
設直線BC與GF交于點J，
∵yJ=2，∴2= ，得。
∴FJ=x_F﹣x_J=t+2﹣=t﹣。
∴S=S_{正方形DEFG}﹣S_梯形MEDN﹣S_△FJK=DE²﹣（ME+DN）•DE﹣FK•FJ
=2²﹣ [（2﹣t）+（3﹣t）]×2﹣（t﹣1）（t﹣）．
過點G作GH⊥y軸于點H，交AC于點I，則HI=2，HJ=，
∴t的取值范圍是：2＜t＜。
∴S與t的函數關系式為：S（2＜t＜）。
S，
∵＜0，且2＜＜，∴當t=時，S取得最大值，最大值為1。