Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，以AB為直徑的半⊙O′與y軸正半軸交于點C，連接BC，AC．CD是半⊙O′的切線，AD⊥CD于點D．
（1）求證：∠CAD=∠CAB；
（2）已知拋物線y=ax²+bx+c過A、B、C三點，AB=10，tan∠CAD=

1

2

．
①求拋物線的解析式；
②判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由；
③在拋物線上是否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形？若存在，直接寫出點P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接O′C，由CD是⊙O的切線，可得O′C⊥CD，則可證得O′C∥AD，又由O′A=O′C，則可證得∠CAD=∠CAB；
（2）①首先證得△CAO∽△BCO，根據相似三角形的對應邊成比例，可得OC²=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=

1

2

，則可求得CO，AO，BO的長，然后利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
②首先證得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的對應邊成比例，即可得到F的坐標，求得直線DC的解析式，然后將拋物線的頂點坐標代入檢驗即可求得答案；
（3）根據題意分別從PA∥BC與PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心漏解．

解答：（1）證明：連接O′C，
∵CD是⊙O′的切線，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；

（2）解：①∵AB是⊙O′的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴

OC

OA

=

OB

OC

，
即OC²=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=

1

2

，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC²=2CO（10-2CO），
解得CO₁=4，CO₂=0（舍去），
∴CO=4，AO=8，BO=2
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），
∵拋物線y=ax²+bx+c過點A，B，C三點，
∴c=4，
由題意得：

4a+2b+4=0 64a-8b+4=0

，
解得：

a=- 1 4 b=- 3 2

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

4

x²-

3

2

x+4；
②設直線DC交x軸于點F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴

O′F

AF

=

O′C

AD

，
∴O′F•AD=O′C•AF，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=

10

3

，F（

16

3

，0）；
設直線DC的解析式為y=kx+m，
則

m=4 16 3 k+m=0

，
解得：

k=- 3 4 m=4

，
∴直線DC的解析式為y=-

3

4

x+4，
由y=-

1

4

x²-

3

2

x+4=-

1

4

（x+3）²+

25

4

得頂點E的坐標為（-3，

25

4

），
將E（-3，

25

4

）代入直線DC的解析式y=-

3

4

x+4中，
右邊=-

3

4

×（-3）+4=

25

4

=左邊，
∴拋物線頂點E在直線CD上；

（3）存在，P₁（-10，-6），P₂（10，-36）．
①∵A（-8，0），C（0，4），
∴過A、C兩點的直線解析式為y=

1

2

x+4，
設過點B且與直線AC平行的直線解析式為：y=

1

2

x+b，把B（2，0）代入得b=-1，
∴直線PB的解析式為y=

1

2

x-1，
∴

y= 1 2 x-1 y=- 1 4 x2- 3 2 x+4

，
解得

x=-10 y=-6

，

x=2 y=0

（舍去），
∴P₁（-10，-6）．
②求P₂的方法應為過點A作與BC平行的直線，
可求出BC解析式，進而求出與之平行的直線的解析式，
與求P₁同法，可求出x₁=-8，y₁=0（舍去）；x₂=10，y₂=-36．
∴P₂的坐標（10，-36）．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，相似三角形的判定與性質，點與函數的關系，直角梯形等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用．