Question

如圖，等腰直角三角形ABC的斜邊BC的長為8，平行于BC邊的直線分別交AB，AC于M，N，將△AMN沿直線MN翻折，得到△A′MN，設△A′MN與△ABC的公共部分的面積為y，MN的長為x．
（1）如果A′在△ABC的內部，求出以x為自變量的函數y的解析式，并指出自變量x的取值范圍；
（2）是否存在直線MN，使y的值為△ABC面積的

1

3

？如果存在，則求出求出對應的x值；如果不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形斜邊上的高也是斜邊上的中線，則等于斜邊的一半．再根據三角形的面積公式進行計算，要求自變量的取值范圍，根據A′在△ABC的內部和軸對稱的性質則x的值應小于斜邊的一半；
（2）如果是（1）中的情況，根據相似三角形的面積比是相似比的平方，則y的值一定小于△ABC面積的

1

4

．所以應考慮點A′在三角形的外部的情況．表示出y的解析式，再列方程求解即可．

解答：解：（1）連接AA′，交MN于D，則：由對稱性知AA′⊥BC，AD=A′D
又∵MN∥BC
∴AB=AC
∴AA′⊥BC（設與BC交于D′或延長線交于D′）
又∵MN∥BC
∴∠AMD=45°
∴AD=MD=

1

2

MN=

1

2

x
∴y=

1

4

x²
又∵要使A′在△ABC內部
∴AA′＜AD′=

1

2

BC=4
∴AD＜

1

2

AA′=2
故：MN=x＜2AD=4
于是：y=

1

4

x²（x＜4）；

（2）要使y的值為△ABC面積的

1

3

，則點A′一定在三角形的外部．
又y=

1

4

x²-

1

2

×（x-4）×（2x-8）=-

3

4

x²+8x-16．
∴-

3

4

x²+8x-16=

1

3

×

1

2

×8×4
解得x₁=x₂=

16

3

∴存在直線MN使y的值為△ABC面積的

1

3

．

點評：此題主要是運用了等腰三角形的性質以及三角形的面積公式，能夠根據不同的情況得到不同的函數關系式．