Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B，連結AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．

（1）當m=2時，求點B的坐標；

（2）求DE的長？

（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數關系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數圖象的另一個交點為P，當m為何值時，以，A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當m=2時，，

把x=0代入，得：y=2，

∴點B的坐標為（0，2）。

（2）延長EA，交y軸于點F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，

∴△AFC≌△AED（AAS）。∴AF=AE。

∵點A（m，），點B（0，m），

∴AF=AE=|m|，，

∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，

∴△ABF∽△DAE，∴，即：。∴DE=4。

（3）①∵點A的坐標為（m，），∴點D的坐標為（2m，）。

∴x=2m，y=，

∴y=，

∴所求函數的解析式為：y=。

②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖1），

點P的橫坐標為3m，

點P的縱坐標為：，

把P（3m，）代入y=得：

。

解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=8。

（Ⅱ）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖2），

點P的橫坐標為m，

點P的縱坐標為：，

把P（m，）代入得：

。

解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=﹣8。

綜上所述：m的值為8或﹣8。

【解析】（1）將m=2代入原式，得到二次函數的頂點式，據此即可求出B點的坐標。

（2）延長EA，交y軸于點F，證出△AFC≌△AED，進而證出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性質，求出DE=4。

（3）①根據點A和點B的坐標，得到x=2m，y=﹣m²+m+4，將m=代入y=﹣m²+m+4，即可求出二次函數的表達式。

②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，然后分（如圖1）和（圖2）兩種情況解答。