Question

如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，F(xiàn)是延長線上的一點，連接BF，若，EO=1．
（1）求⊙O的半徑．
（2）若∠F=30°，求證：直線BF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）由CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，根據(jù)垂徑定理，即可求得BE的長，然后由勾股定理，即可求得⊙O的半徑OB的長．
（2）由EO=1，OC=BO=2，EO⊥AB，即可求得∠OBE=30°，即可求得∠BOE=60°，則∠OBF=90°，繼而證得直線BF是⊙O的切線．
解答：解：（1）連接OB．
∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，
∴BE=AE=，∠OEB=90°，
在Rt△OEB中：OB===2，
∴⊙O的半徑為2；

（2）∵EO=1，OC=BO=2，EO⊥AB，
∴tan∠OBE==，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=60°，
∵∠F=30°，
∴∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴直線BF是⊙O的切線．
點評：此題考查了垂徑定理與圓的切線的判定，以及勾股定理等知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．