Question

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE，DF（或它們的延長線）分別交BC（或它們的延長線）所在的直線于G，H點(diǎn)，如圖（2）

（1）問：始終與△AGC相似的三角形有______及______；
（2）設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖（2）的情形說明理由）；
（3）問：當(dāng)x為何值時，△AGH是等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論．
（2）由△AGC∽△HAB，利用其對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于x、y的關(guān)系式：9：y=x：9即可．
（3）此題要采用分類討論的思想，當(dāng)CG＜BC時，當(dāng)CG=BC時，當(dāng)CG＞BC時分別得出即可．
解答：解：（1）∵△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，
∵∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=45°，
∴∠H=∠CAG，
∵∠ACG=∠B=45°，
∴△AGC∽△HAB，
∴同理可得出：始終與△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；
故答案為：△HAB和△HGA．

（2）∵△AGC∽△HAB，
∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，
∴y=（0＜x＜9），
∵AB=AC=9，∠BAC=90°，
∴BC===9．
答：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=（0＜x＜9）．

（3）①當(dāng)CG＜BC時，∠GAC=∠H＜∠HAG，
∴AG＜GH，
∵GH＜AH，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此時，△AGH不可能是等腰三角形，
②當(dāng)CG=BC時，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合，△AGH是等腰三角形，
此時，GC=，即x=，
③當(dāng)CG＞BC時，由（1）△AGC∽△HGA，
所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，
若GH=AH，則AC=CG，此時x=9，
如圖（3），當(dāng)CG=BC時，
注意：DF才旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，
此時B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
所以△AGH為等腰三角形，所以CG=9．
綜上所述，當(dāng)x=9或x=或9時，△AGH是等腰三角形．
點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，難易程度適中，是一道很典型的題目．