Question

已知二次函數y=x²+2x+m的圖象C₁與x軸有且只有一個公共點．
（1）求C₁的頂點坐標；
（2）將C₁向下平移若干個單位后，得拋物線C₂，如果C₂與x軸的一個交點為A（-3，0），求C₂的函數關系式，并求C₂與x軸的另一個交點坐標；
（3）若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的兩點，且y₁＞y₂，求實數n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于二次函數y=x²+2x+m的圖象C₁與x軸有且只有一個公共點，那么頂點的縱坐標為0，由此可以確定m．
（2）首先設所求拋物線解析式為y=（x+1）²+k，然后把A（-3，0）代入即可求出k，也就求出了拋物線的解析式；
（3）由于圖象C₁的對稱軸為直線x=-1，所以知道當x≥-1時，y隨x的增大而增大，然后討論n≥-1和n≤-1兩種情況，利用前面的結論即可得到實數n的取值范圍．
解答：（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，對稱軸為直線x=-1，
∵與x軸有且只有一個公共點，
∴頂點的縱坐標為0，
∴C₁的頂點坐標為（-1，0）；

（2）設C₂的函數關系式為y=（x+1）²+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函數關系式為y=（x+1）²-4．
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點為A（-3，0），
由對稱性可知，它與x軸的另一個交點坐標為（1，0）；

（3）當x≥-1時，y隨x的增大而增大，
當n≥-1時，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2．
當n＜-1時，P（n，y₁）的對稱點坐標為（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
綜上所述：n＞2或n＜-4．
點評：此題比較復雜，首先考查拋物線與x軸交點個數與其判別式的關系，接著考查拋物線平移的性質，最后考查拋物線的增減性．