Question

如圖，函數y=px²+qx+r（其中p，q，r為常數）的圖象分別與x軸，y軸交于A，B，C三點，D為拋物線的頂點，且∠ACB=90°，OA＞OB．
（1）試確定p，q，r的符號；
（2）求證：q²-4pr＞4；
（3）D點與經過A，B，C三點的圓的位置關系如何？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由于C在y的負半軸上，因此r＜0，根據射影定理可得出OC²=OA•OB，可據此求出p的符號，然后根據對稱軸在y軸左側可得出q的符號．
（2）由于D在C點下方，因此D點的縱坐標小于C點的縱坐標，即

4pr-q2

4p

＜r，在（1）中不難得出r=-p，再根據r²=-

r

p

（即OC²=OA•OB，射影定理）即可求出所求的結論．
（3）本題只需將圓的半徑的長和D點的縱坐標進行比較即可得出所求結論．

解答：（1）解：設A點坐標為（x₁，0）B點坐標為（x₂，0）
由于C點在y軸負半軸，
因此r＜0；
因為∠ACB=90°，根據射影定理有：OC²=OA•OB，
即r²=-x₁•x₂=-

r

p

，
由于r²＞0，r＜0，
因此p＞0，且r=-p．
∵OA＞OB，
因此拋物線的對稱軸在y軸左側，
因此-

q

2p

＜0，p＞0，
因此q＞0．
因此p、q均為正數，r為負數．

（2）證明：由于D點在C點下方，
因此

4pr-q2

4p

＜r…①．
由于r＜0，①式兩邊同乘以r，得

4pr-q2

4 r p

＞r²…②，
在（1）中得：r=-p，r²=-

r

p

=1
因此②式可寫成

4pr-q2

-4

＞1，即q²-4qr＞4．

（3）解：點D在以AB為直徑的圓外．
證明：設以AB為直徑的圓的半徑為R，
則有R=

1

2

（OA+OB）
=

1

2

（-x₁+x₂）
=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

q2-4pr p2

=

2 q2-4pr

4p

而D到x軸的距離h為

q2-4pr

4p

．
根據（2）可知：q²-4pr＞4且p＞0，
因此h＞R
所以D點在圓外．

點評：本題主要考查了二次函數的性質，韋達定理的應用等知識點．