Question

如圖，已知直線y=x與雙曲線y=交于A、B兩點，且點A的橫坐標為．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線y=上點C的縱坐標為3，求△AOC的面積；
（3）在坐標軸上有一點M，在直線AB上有一點P，在雙曲線y=上有一點N，若以O、M、P、N為頂點的四邊形是有一組對角為60°的菱形，請寫出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

解：（1）把點A的橫坐標為代入y=x，∴其縱坐標為1，
把點（，1）代入y=，解得：k=．

（2）∵雙曲線y=上點C的縱坐標為3，∴橫坐標為，
∴過A，C兩點的直線方程為：y=kx+b，把點（，1），（，3），代入得：
，
解得：，
∴y=-x+4，設y=-x+4與x軸交點為D，
則D點坐標為（，0），
∴△AOC的面積=S_△COD-S_△AOD=××3-××1=．

（3）設P點坐標（a，a），由直線AB解析式可知，直線AB與y軸正半軸夾角為60°，
∵以O、M、P、N為頂點的四邊形是有一組對角為60°的菱形，P在直線y=x上，
∴點M只能在y軸上，∴N點的橫坐標為a，代入y=，解得縱坐標為：，
根據OP=NP，即得：||=|-|，
解得：a=±1．
故P點坐標為：（1，）或（-1，-）．
分析：（1）把點A的橫坐標為代入y=x求出其縱坐標，然后把A點的坐標代入y=求出k即可．
（2）根據縱坐標為3，求出橫坐標，再求出過A，C兩點的直線方程，然后根據△AOC的面積=S_△COD-S_△AOD求解即可．
（3）設P點坐標（a，a），根據題意，點M只能在縱坐標軸上，
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點及反比例函數圖象上坐標的特征，難度較大，關鍵掌握用待定系數法解函數的解析式．