Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若CD=4，AD=8，試求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC，根據切線與圓的關系和直角三角形內角之間的關系，可以推出AC平分∠DAB；
（2）作OE⊥AD，根據線與線之間的關系，利用勾股定理即可得出圓的半徑．
解答：解：（1）連接OC，
∵CD是切線，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠1=∠4．
∵∠2=∠4，
∴∠1=∠2．

（2）做OE⊥AD，設半徑為x，
∵CD⊥AD，
∴OE∥CD；
又OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∴四邊形OEDC是矩形，
∴OE=CD=4，AE=8-x，
∴4²+（8-x）²=x²，
∴x=5．
點評：著重考查學生對切線與圓的位置關系，以及在圓內的各邊之間的關系．