Question

科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節：科學家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環境中，經過一天后，測試出這種植物高度的增長情況（如下表）：

溫度x/℃	…	-4	-2		2	4	4.5	…
植物每天高度增長量y/mm	…	41	49	49	41	25	19.75	…

由這些數據，科學家推測出植物每天高度增長量y是溫度x的函數，且這種函數是反比例函數、一次函數和二次函數中的一種．
（1）請你選擇一種適當的函數，求出它的函數關系式，并簡要說明不選擇另外兩種函數的理由；
（2）溫度為多少時，這種植物每天高度增長量最大？
（3）如果實驗室溫度保持不變，在10天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm，那么實驗室的溫度x應該在哪個范圍內選擇？請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】分析：（1）選擇二次函數，設y=ax²+bx+c（a≠0），然后選擇x=-2、0、2三組數據，利用待定系數法求二次函數解析式即可，再根據反比例函數的自變量x不能為0，一次函數的特點排除另兩種函數；
（2）把二次函數解析式整理成頂點式形式，再根據二次函數的最值問題解答；
（3）求出平均每天的高度增長量為25mm，然后根據y=25求出x的值，再根據二次函數的性質寫出x的取值范圍．
解答：解：（1）選擇二次函數，設y=ax²+bx+c（a≠0），
∵x=-2時，y=49，
x=0時，y=49，
x=2時，y=41，
∴，
解得，
所以，y關于x的函數關系式為y=-x²-2x+49；
不選另外兩個函數的理由：
∵點（0，49）不可能在反比例函數圖象上，
∴y不是x的反比例函數；
∵點（-4，41），（-2，49），（2，41）不在同一直線上，
∴y不是x的一次函數；

（2）由（1）得，y=-x²-2x+49=-（x+1）²+50，
∵a=-1＜0，
∴當x=-1時，y有最大值為50，
即當溫度為-1℃時，這種作物每天高度增長量最大；

（3）∵10天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm，
∴平均每天該植物高度增長量超過25mm，
當y=25時，-x²-2x+49=25，
整理得，x²+2x-24=0，
解得x₁=-6，x₂=4，
∴在10天內要使該植物高度增長量的總和超過250mm，實驗室的溫度應保持在-6＜x＜4℃．
點評：本題考查了二次函數的應用，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的最值問題，以及利用二次函數求不等式，仔細分析圖表數據并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．