Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為的中點，過D作DF⊥AB于點E，交⊙O于點F，交弦BC于點G，連接CD，BF．

（1）求證：△BFG≌△DCG；

（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的長；

（3）在（2）的條件下，P為⊙O上一點，連接BP，CP，弦CP交直徑AB于點H，若△BPH與△CPB相似，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BF＝4；（3）PC＝17．

【解析】

（1）證明BF＝CD，而∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，則△BFG≌△DCG（AAS）；

（2）證明OM是△ABC的中位線，進而在Rt△BEF中，利用勾股定理求解即可；

（3）證明∠ACP＝∠BCP＝45°，在Rt△CBN中，CN＝BN＝BC＝12，而∠CAB＝∠CPB，則tan∠CAB＝tan∠CPB，即可求解．

（1）∵D是的中點，則=,

∵AB為⊙O的直徑，DF⊥AB，

∴=，

∴=，

∴BF＝CD，

又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，

∴△BFG≌△DCG（AAS）；

（2）如圖1，連接OD交BC于點M，

∵D為的中點，

∴OD⊥BC，∴BM＝CM，

∵OA＝OB，

∴OM是△ABC的中位線，

∴OM＝AC＝5，

∵=，

∴=，

∴OE＝OM＝5，

∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，

∴EF＝DE＝＝12，

∴BF＝＝4；

（3）如圖2，

∵弦CP交AB于點H，則點P與點C在直徑的兩側，則∠CBP＞∠HBP，

又∵∠CPB＝∠BPH，

∴∠ACP＝∠BCP，

∵AB是直徑，則∠ACB＝∠APB＝90°，

∴∠ACP＝∠BCP＝45°，

過點B作BN⊥PC于點N，由（2）得AB＝26，

在Rt△CBN中，CN＝BN＝BC＝12，

∵∠CAB＝∠CPB，

∴tan∠CAB＝tan∠CPB＝，即=，故PN＝5，

∴PC＝CN+PN＝5+12＝17．