Question

如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以A為圓心的⊙A與邊BC相切于點D．與AB、AC兩邊分別交于點E、F．連接DE、DF、EF．
（1）求證：DE=DF；
（2）若0A的半徑為3，BC=8．求EF的長．

Answer 1

考點：切線的性質,全等三角形的判定與性質,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）通過全等三角形的判定定理SAS證得△AED≌△AFD，則該全等三角形的對應邊相等；
（2）根據等腰△AEF、等腰△ABC“三合一”的性質證得AD⊥EF，AD⊥BC，則EF∥BC，所以△AEF∽△ABC，然后根據相似三角形的對應邊成比例來求線段EF的長度．

解答：（1）證明：如圖，連接AD．
∵⊙A與邊BC相切于點D，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠EAD=∠FAD．
∵在△AED與△AFD中，

AE=AF ∠EAD=∠FAD AD=AD

，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DE=DF；

（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=4．
又∵0A的半徑為3，即AD=3，
∴根據勾股定理求得AC=

AD2+DC2

=5；
∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，
∴AD⊥EF．
又∵AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AF

AC

，即

EF

8

=

3

5

，
∴EF=

24

5

．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及切線的性質．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．