Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB=2∠EAB．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若cosC=，AC=6，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）AC是⊙O的切線；（2）BF的長為3．

【解析】

試題分析：（1）連結AD，如圖，根據圓周角定理，由E是的中點得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，則∠ACB=∠DAB，再利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根據切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；

（2）作FH⊥AB于H，如圖，利用余弦定義，在Rt△ACD中可計算出CD=4，在Rt△ACB中可計算出BC=9，則BD=BC﹣CD=5，接著根據角平分線性質得FD=FH，于是設BF=x，則DF=FH=5﹣x，然后利用平行線得性質由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosC=，再利用比例性質可求出BF．

試題解析：（1）證明：連結AD，如圖，

∵E是的中點，

∴，

∴∠EAB=∠EAD，

∵∠ACB=2∠EAB，

∴∠ACB=∠DAB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：作FH⊥AB于H，如圖，

在Rt△ACD中，∵cosC=，

∴CD=×6=4，

在Rt△ACB中，∵cosC=，

∴BC=×6=9，

∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5，

∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，

而FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FD=FH，

設BF=x，則DF=FH=5﹣x，

∵FH∥AC，

∴∠HFB=∠C，

在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC=，

∴，解得x=3，

即BF的長為3．