Question

【題目】如圖，是的直徑，是的切線，連接交于E，過點A作于F，交于D，連接，．

（1）求證：；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據切線的性質可得∠CAF+∠BAD=90°，根據同角的余角相等可得，進一步根據圓周角定理的推論即可證得結論；

（2）由（1）的結論和正切的定義在直角△OAC中可求得AC的長，再在直角△ACF中利用正切的定義和勾股定理即可求出結果.

解：（1）證明：∵是的切線，∴∠CAO=90°，即∠CAF+∠BAD=90°，

∵，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠C=90°，

∴，

∵，

∴；

（2）∵是的直徑，，∴AO=6，

∵，，

∴，∴AC=8，

在直角△ACF中，∵，∴設AF=3x，CF=4x，則由勾股定理得：AC=5x，

∴5x=8，∴，∴.