Question

有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，若此時他測得BD=8cm，∠ADB=30°．
（1）請直接寫出AF的長；
（2）小紅同學用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學繼續探究．他們將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB₁D₁，AD₁交FM于點K（如圖2），設旋轉角為β（0°＜β＜90°），當△AFK為等腰三角形時，求△AFK的面積（保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質可知△AFM≌△ADB，則AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；
（2）當△AFK為等腰三角形時，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的頂點，則分兩種情況：①K為頂點，即AK=FK時；②F為頂點，即AF=FK．針對每一種情況，利用三角形的面積公式，可分別求出△AFK的面積．
解答：解：（1）AF=；

（2）△AFK為等腰三角形時，分兩種情況：
①當AK=FK時，如圖．過點K作KN⊥AF于N，則KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．
在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，
∴KN=NF•tan∠F=2cm．
∴△AFK的面積=×AF×KN=；
②當AF=FK時，如圖．過點K作KP⊥AF于P．
在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，
∴KP=KF=2cm．
∴△AFK的面積=×AF×KP=12cm²．
點評：本題考查旋轉的性質，旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．注意（2）中需分情況討論△AFK為等腰三角形時的不同分類，不要漏解．