Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，直線l₁、l₂、l₃分別通過A、B、C三點，且l₁∥l₂∥l₃．若l₁與l₂的距離為5，l₂與l₃的距離為7，則Rt△ABC的面積為

37

．

Answer 1

分析：先過點B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，由于EF⊥l₂，l₁∥l₂∥l₃，易知EF⊥l₁⊥l₃，那么∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°，而∠ABC=90°，可得∠ABE+∠FBC=90°，根據同角的余角相等可得∠EAB=∠FBC，根據AAS可證△ABE≌△BCF，于是BE=CF=5，AE=BF=7，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB²=74，進而可求△ABC的面積．

解答：解：過點B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，如右圖，
∵EF⊥l₂，l₁∥l₂∥l₃，
∴EF⊥l₁⊥l₃，
∴∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，

∠AEB=∠BFC ∠EAB=∠FCB AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF=5，AE=BF=7，
在Rt△ABE中，AB²=BE²+AE²，
∴AB²=74，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

AB²=37．
故答案是37．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理、平行線之間的距離，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，并證明△ABE≌△BCF．