Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，把一個三角板的直角頂點放在點D處，將三角板繞點D旋轉且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F .

（1）如圖1，觀察旋轉過程，猜想線段AF與BE的數量關系并證明你的結論；

（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數量關系，直接寫出你的結論（不需證明）；

（3）如圖3，若將“AB=AC，點D是BC的中點”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點D”，其余條件不變，探索（1）中結論是否成立？若不成立，請探索關于AF、BE的比值.

 

Answer 1

 

（1）證明略

（2）

（3）

解析:解：（1）結論：AF=BE.  ………………………………….1分

證明：連接AD，

∵ AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC的中點

∴ AD=BD=DC=BC ，∠ADB=∠ADC=90°,

∴ ∠B=∠C=∠1=∠2=45°.

∴ ∠3+∠5==90°.

∵ ∠3+∠4==90°,

∴ ∠5=∠4

∵ BD=AD,

∴ △BDE≌△ADF.

∴ BE=AF.  ………………………………………………………………………3分

（2）…………………………………………………………4分

（3）（1）中的結論BE=AF不成立.  ……………………………………… 5分

∵ ∠B=30°，AD⊥BC于點D，∠BAC=90°,

∴ ∠3+∠5==90°，  ∠B+∠1==90°.

∵ ∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°    

∴ ∠B=∠2 ，  ∠5=∠4.

∴ △BDE∽△ADF.

∴ .………………………………………………… 6分