Question

(2004　遼寧沈陽)如圖所示，和外切于點A，BC是和的公切線，B、C為切點．

(1)求證：AB⊥AC；

(2)過點A的直線分別交、于點D、E，且DE是連心線時，直線DB與直線EC交于點F，請在圖中畫出圖形，并判斷DF與EF是否互相垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由；

(3)在(2)的其他條件不變的情況下，將直線DE繞點A旋轉(D、E不與點A、B、C重合)，請另畫出圖形，并判斷DF與EF是否互相垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)證明　如圖所示， 過點A作和的內公切線交BC于點O． 因為OB、OA是的切線， ∴OB=OA． 同理OC=OA． ∴OB=OC=OA． ∴△ABC是直角三角形． ∴AB⊥AC． (2)DF⊥EF． 如圖所示 ∵和外切于點A， ∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA． 由(1)得∠ABC＋∠ACB=∠90°， ∴∠FDA＋∠FEA=90°， ∴∠DFE=90°，即DF⊥EF． (3)DF⊥EF． 第一種情況：如圖所示 證法同(2)． 第二種情況：如圖所示 ∵∠ACB=∠FEA，∠CBD=∠BAD，∠EDF=∠DBA＋∠DAB， ∴∠EDF=∠ABC． ∵∠ABC＋∠ACB=90°， ∴∠EDF＋∠AEC=90°． ∴∠DFE=90°． ∴EF⊥DF． 第三種情況如圖所示 證明同第二種情況．