Question

如圖，AB、CD是兩個過江電纜的鐵塔，塔AB高40米，AB的中點為P，塔底B距江面的垂直高度為6米．跨江電纜因重力自然下垂近似成拋物線形，為了保證過往船只的安全，電纜下垂的最低點距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B點西50米的地面E點恰好看到點E、P、C在一直線上；再向西前進150米后從地面F點恰好看到點F、A、C在一直線上．(1)求兩鐵塔軸線間的距離(即直線AB、CD間的距離)；(2)若以點A為坐標原點，向東的水平方向為x軸，取單位長度為1米，BA的延長線方向為y軸建立坐標系．求剛好滿足最低高度要求的這個拋物線的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解答：如圖，AB＝40米，BP＝20米，BE＝50米，BF＝50＋150＝200(米)．設CD的延長線交地平面于點H． 　　(1)設CH＝x，BH＝y， 　　由△EBP∽△EHC，得 　　＝，即＝．　　① 　　又由△FBA∽△FHC，得 　　＝，即＝．　　② 　　由①②解得，x＝60，y＝100． 　　答：兩鐵塔軸線間的距離為100米． 　　(2)依題意建立坐標系，如圖，由(1)得CH＝60米，C點比A點高20米． 　　這時A、C兩點坐標為：A(0，0)，C(100，20)，設拋物線頂點為P(x0，y0)，因為要求最低點高于地面為30－6＝24(米)，點A高度為40米，∴y0＝－16．設過點A的拋物線解析式為： 　　y＝ax2＋bx(a＞0)，則該拋物線滿足： 　　 　　化簡，得125b2＋80b－16＝0，解得b1＝，b2＝－． 　　∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，有－＞0，而a＞0， 　　∴b＜0，放b1＝舍去． 　　∴b＝－，代入前式，得a＝，∴y＝x2－x． 　　答：所求拋物線解析式為y＝x2－x． 　　分析：(1)若CD的延長線與地平面FB的交點為H，則根據條件可知△EBP∽△EHC，并且△FBA∽△FHC，從而可求出AB、CD間的距離． 　　(2)由于拋物線過A、C兩點，并且最低點距江面高度不少于30米，從而可求出二次函數的解析式．