Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，EF是梯形的中位線，AB∥DH，且AD=1，BC=3，CD=4，有下列4個結論：（1）∠BCD=60°，（2）EH=2，（3）四邊形EHCF是菱形；（4）以AB為直徑的圓與CD相切于點F，其中正確的是

 

（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

分析：在直角三角形CDH中，CH=BC-BH，而四邊形ABHD是矩形，故AD=BH，從而可求CH，利用三角函數可求∠DCH，即∠DCB的值；再利用梯形中位線定理，及F時CD中點，可證四邊形EHCF是菱形；△BEH與△EHC時等高的兩個三角形，求面積比，也就是求底邊的比，即BH：CH；在△CDH中利用勾股定理，可求DH，即AB的值，用其一半與EF比較，相等則切于F，否則不成立．

解答：解：在Rt△DCH中，CD=4，CH=CB-BH=2，
∴∠DCH=60°，即∠BCD=60°，
在四邊形EHCF中，又CH=EF=2，CH∥EF，CF=

1

2

CD=2，
∴四邊形EHCF是菱形，
∵S_△BEH=

1

2

BH•EB=

1

2

×1×EB=

1

2

EB，
S_△CEH=

1

2

CH•EB=

1

2

×2×EB=EB，
∴S_△BEH=

1

2

S_△CEH．
以AB的直徑的圓的半徑為

3

，而EF=2，R≠EF．
所以AB為直徑的圓與CD不相切于點F．
則①②③正確．
故答案是：①②③．

點評：此題主要考查梯形的性質、勾股定理、菱形的判定、三角形面積及圓的切線的判定．本題比較復雜，信息量較大，需要同學們熟知梯形及三角形中位線定理．