Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)．

（1）求過三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得的周長最小，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

，

點(diǎn)都在拋物線上，

  

拋物線的解析式為

頂點(diǎn)

（2）存在

（3）存在

理由：

解法一：

延長到點(diǎn)，使，連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．

過點(diǎn)作于點(diǎn)．

點(diǎn)在拋物線上，

在中，，

，，

在中，，

，，

設(shè)直線的解析式為

   解得

   解得 

在直線上存在點(diǎn)，使得的周長最小，此時(shí)．

解法二：

過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)．

連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．

，

同方法一可求得．

在中，，，可求得，

為線段的垂直平分線，可證得為等邊三角形，

垂直平分．

即點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)．

設(shè)直線的解析式為，由題意得

   解得

   解得 

在直線上存在點(diǎn)，使得的周長最小，此時(shí)．