Question

（2002•泉州）已知：直線l的解析式為y=x+m（m為常數，m≠0），點（-4，3）在直線l上．
（1）求m的值；
（2）若⊙A的圓心為原點，半徑為R，并且⊙A與直線l有公共點，試求R的取值范圍；
（3）當（2）中的⊙A與l有唯一公共點時，將此時的⊙A向左移動（圓心始終保持在x軸上），試求在這個移動過程中，當直線l被⊙A截得的弦的長為時圓心A的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）可將點（-4，3）代入直線l的解析式中，求出m的值．
（2）⊙A與直線l有公共點，則圓與直線l相交或相切，求此時R的取值范圍，就必須求出圓心到直線l的距離．過A作AD⊥直線l與D，設直線交x軸于B，交y軸于C，有直線l的解析式，可得出B，C的坐標，那么就有了OB，OC的長，根據勾股定理就能求出BC的長，根據直角三角形ABC的面積的不同的表示方法，可求出AD的長，即圓心到直線L的距離，然后根據圓與直線相交或相切，則圓的半徑≥圓到直線的距離．
（3）可過A作直線L的垂線，有被截得弦的長度，有圓的半徑，那么圓心到直線的距離就能求出來了，然后根據直線l與x軸的夾角的正弦值，用圓到直線的距離求出AB的長，然后根據B點的坐標即AB的長，求出A到原點的距離，從而求出A的坐標．
解答：解：（1）根據題意，得：3=（-4）+m，解得：m=6．

（2）直線l的解析式為y=x+6，如圖（1），設直線l分別于x軸，y軸交于B，C兩點．
令x=0，得y=6；令y=0，得x=-8．
∴B，C坐標分別為B（-8，0），C（0，6）．即AB=8，AC=6．
在直角三角形ABC中，BC==10．
過點A作AD⊥BC于D．
∵AD•BC=AC•BD，
∴AD=．
又直線l與⊙A有公共點，即l與OA相切或相交，
∴R≥．

（3）當（2）中⊙A與l有惟一公共點時，⊙A與l相切，
∴R=．
將該圓向左移動直線l被⊙A截得的弦的長為時，設截得的弦為DE，那么DE=，
過A作AF⊥DE于F，根據垂徑定理EF=DF=，
直角三角形AFE中，AE=R=，AF==4．
直角三角形CDO中，tan∠CBO==，因此sin∠CBO=．
直角三角形FBA中，AF=4，sin∠CBO=．AB=AF÷sin∠CBO=．
因此，OA=OB-AB=8-=，
當A在B的左側時，BA′=BA=8-，
即OA′=8+（8-）=14，
因此A點的坐標是（，0）或（-14，0）．
點評：本題結合了一次函數考查了直線與圓的位置關系，本題中根據直線的函數求出直線與坐標軸的交點，然后根據交點的坐標得出線段的長進而求出圓心到直線的距離是解題的關鍵．