Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，-2），以點A為圓心、AO為半徑畫圓，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于B、C兩點，點E是x軸上的一個動點．
（1）求B、C兩點的坐標；
（2）直線CE與⊙O有哪幾種位置關系？
（3）當直線CE是⊙O的切線時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）對于y=-x+4，令y=0，則x=4；令x=0，則y=4，即可得到B點和C點坐標；
（2）根據直線與圓的三種位置關系進行回答；
（3）分類討論：設直線CE與⊙O相切于點P（點P在第四象限），交x軸于點E，連接AP，根據切線的性質得到AP⊥CP，先得到OC=4，OA=2，再利用勾股定理計算出PC=4，根據相似三角形的判定方法得到Rt△COE∽Rt△CPA，則OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4，可求出OE=，E點坐標為（，0），當⊙O的切線為CP′，P′為切點，CP′與x軸的交點為E′，然后根據切線長定理得到
CO垂直平分EE′，則點E′的坐標為（-，0），即可得到滿足條件的點E的坐標為（，0），（，0）．
解答：解：（1）在直線y=-x+4中，
令y=0，則x=4，
∴點B的坐標為（4，0），
令x=0，則y=4，
∴點C的坐標為（0，4）；

（2）直線CE與⊙O有相離、相切、相交三種位置關系；

（3）設直線CE與⊙O相切于點P（點P在第四象限），交x軸于點E，連接AP，如圖，則AP⊥CP，
∵點C的坐標為（0，4），A點坐標為（0，-2），
∴OC=4，OA=2，
在Rt△CAP中，AC=OA+OC=6，AP=OA=2，PC==4，
∵∠ECO=∠ACP，
∴Rt△COE∽Rt△CPA，
∴OE：PA=OC：CP，即OE：2=4：4，
∴OE=，
∴E點坐標為（，0），
當⊙O的切線為CP′，P′為切點，CP′與x軸的交點為E′，則CA平分∠PCP′，則CO垂直平分EE′，則點E′的坐標為（-，0），
∴點E的坐標為（，0），（，0）．
點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質定理、切線長定理和直線與圓的位置關系等是解決圓的綜合題的關鍵；運用相似三角形的判定與性質和勾股定理是解決幾何計算常用的方法；對于綜合題一般采用各個擊破的方式解決．