Question

如圖：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，點E在AC上，E與A、C均不重合．
（1）若點F在AB上，且EF平分△ABC的周長，設AE=x，用含x的代數式表示S_△AEF；
（2）若點F在折線ABC上移動，是否存在直線EF將Rt△ABC的周長與面積同時平分？若存在，求出AE的長，若不存在，請說出理由．

Answer 1

分析：若求△AEF的面積，由已知知道其底邊長，只需求出高就行了，利用平行線分線段成比例定理，建立中間量，即可求出其高度，第二問先假設成立，再建立平衡方程，進一步驗證．最終得出結論．

解答：解：（1）過點F作FM⊥AC于M，
EF平分△ABC的周長，AE=x，所以可得AE+AF=CE+BC+BF，
即：x+AF=3-x+4+5-AF，解得AF=6-x．
由平行線分線段成比例定理可知，
AF：AB=FM：BC，即，6-x：5=FM：4，
解得FM=

24-4x

5

，
所以S_△AEF=

1

2

 × 

24-4x

5

 •x=

12x-2 x2

5

（2）若EF存在，
①當F在AB上時，如圖1，
則由（1）可知，S_△AEF=

12-2x2

5

=

1

2

 ×3×4×

1

2

=3，
化簡得，2x²-12x+15=0，由△=12²-4×2×15=24＞0，
解得x₁=

6- 6

2

，x₂=

6+ 6

2

（不合題意舍去）．
即AE=

6- 6

2

．
②當F在BC上時，如圖2，
CF+CE=AE+AB+BF，
即CF+3-x=x+5+4-CF，
CF=3+

1

2

x，
根據面積平分得出S_△CFE=S_{四邊形BFEA}=

1

2

S_△ACB=3，
即

1

2

×（3-x）×（3+

1

2

x）=3，
解得：x₃=

-3+ 33

2

，x₄=

-3- 33

2

（舍去），
即存在直線EF將Rt△ABC的周長與面積同時平分，AE的長是

6- 6

2

或

-3+ 33

2

．

點評：能夠將未知量通過求中間量建立等式關系，進而求解，另外對于類似第二問中的問題，可用假設的方法求解．