Question

觀察與探究：（1）觀察下列各組數據并填空：
A.1，2，3，4，5.

.

xA

=

 

，s_A²=

 

；
B.11，12，13，14，15.

.

xB

=

 

，s_B²=

 

；
C.10，20，30，40，50.

.

xC

=

 

，s_C²=

 

；
D.3，5，7，9，11.

.

xD

=

 

，s_D²=

 

．
（2）分別比較A與B，C，D的計算結果，你能發現什么規律？
（3）若已知一組數據x₁，x₂，…，x_n的平均數是

.

x

，方差為S²，則另一組數據3x₁-2，3x₂-2，…，3x_n-2的平均數是

 

，方差是

 

．

Answer 1

分析：（1）根據平均數的公式和方差的計算公式進行計算即可；
（2）一組數據中的每一個數加或減一個數，它的平均數也加或減這個數；一組數據中的每一個數都變為原數的n倍，它的方差變為原數據的n²倍；
（3）根據（2）中的規律去解題．

解答：解：（1）

.

x

_A=3，s_A²=2；

.

x

_B=13，s_B²=2；

.

x

_C=30，s_C²=200；

.

x

_D=7，s_D²=8．

（2）規律：有兩組數據，設其平均數分別為

.

x

₁，

.

x

₂，方差分別為s₁²，s₂²：
①當第二組數每個數據比第一組每個數據都增加m個單位時，則有

.

x

₂=

.

x

₁+m，s₂²=s₁²；
②當第二組數每個數據是第一組每個數據的n倍時，則有

.

x

₂=n

.

x

₁，s₂²=n²s₁²；
③當第二組數每個數據是第一組每個數據的n倍加m時，則有

.

x

₂=n

.

x

₁+m，s₂²=n²s₁²

（3）另一組數據的平均數

.

x

′=

1

n

（3x₁-2+3x₂-2+…+3x_n-2）=

1

n

[3（x₁+x₂+…+x_n）-2n]=3

.

x

-2，
原來的方差s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，
現在的方差s²=

1

n

[（3x₁-2-3

.

x

+2）²+（3x₂-2-3

.

x

+2）²+…+（3x_n-2-3

.

x

+2）²]
=

1

n

[9（x₁-

.

x

）²+9（x₂-

.

x

）²+…+9（x_n-

.

x

）²]
=9s²．

點評：本題特別說明：當數據都加上一個數（或減去一個數）時，方差不變，即數據的波動情況不變；一組數據中的每一個數都變為原數的n倍，它的方差變為原數據的n²倍．此題作為結論記住．