Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC=3，以BC為直徑的半圓與斜邊AB相交于點D，則圖中陰影部分的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接CD．構建直徑所對的圓周角∠BDC=90°，然后利用等腰直角△ABC的性質：斜邊上的中線是斜邊的一半、中線與垂線重合，求得CD=BD=AD，從而求得弦BD與CD所對的弧的面積相等，所以圖中陰影部分的面積=直角三角形ABC的面積-直角三角形BCD的面積．
解答：解：連接CD．
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°（直徑所對的圓周角是直角），即CD⊥AB；           
又∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CD是斜邊AB的垂直平分線，
∴CD=BD=AD（斜邊上的中線是斜邊的一半）；
∴=（等弦所對的弧相等），
∴S_扇形BD=S_扇形CD，
∴S_陰影=S_Rt△ABC-S_Rt△BCD；
∵△ABC為等腰直角三角形，CD是斜邊AB的垂直平分線，
∴S_Rt△ABC=2S_Rt△BCD；
又S_Rt△ABC=×3×3=，
∴S_陰影=；
故答案為：．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、等腰三角形的性質．解題時，借助于輔助線CD，將隱含在題中的“直徑所對的圓周∠BDC=90°”體現出來，便于利用等腰直角三角形ABC的性質：斜邊上的中線是斜邊的一半及CD是中垂線，來求圖中陰影部分的面積．