Question

（2001•重慶）如圖，在平面直角坐標系中，A、B是x鈾上的兩點，C是y軸上的一點．∠ACB=90°，∠CAB=30°，AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點，若C點的坐標為（0，4）．
（1）求圖象過A、B、C三點的二次函數的解析式；
（2）求圖象過點E、F的一次函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數易得OA，OB長，得到A，B坐標，運用待定系數法求二次函數解析式；
（2）連接OE，作EM⊥x軸于點M．利用三角函數可得點E坐標，同法求得F坐標，代入一次函數解析式即可．
解答：解：（1）由題意得OC=4．
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴OA=4，A（-4，0）．
同理可得B（，0）．
設二次函數解析式為y=ax²+bx+c，
則48a-4b+c=0，
a+b+c=0，
c=4．
解得a=-0.25，b=．
故二次函數解析式為y=-0.25x²+x+4；

（2）連接OE，作EM⊥x軸于點M．
∵∠AEO=90°，∠CAB=30°，
∴OE=2，∠AOE=60°．
∴OM=，EM=3，
那么E（-，3），同法可得F（，1）．
設過EF的直線解析式為y=kx+b．
那么-k+b=3；k+b=1．
解得k=-，b=2．
那么y=-x+2．
故圖象過點E、F的一次函數的解析式為y=-x+2．
點評：本題主要考查了用待定系數法求函數解析式，關鍵是利用特殊三角函數值求得相應點的坐標．