Question

如圖，函數y=ax²+bx+c（其中a，b，c為常數）的圖象分別與x軸，y軸交于A，B，C三點，M為拋物線的頂點，且AC⊥BC，OA＜OB．
（1）試確定a，b，c的符號；
（2）求證：b²-4ac＞4；
（3）當b=2時，M點與經過A，B，C三點的圓的位置關系如何？證明你的結論．注：y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-

b

2a

，頂點為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）拋物線與y軸的交點在y軸正半軸，首先可以確定的是c＞0．由于拋物線與x軸的兩交點在原點兩側，如果設（x₁，0），B（x₂，0）的話，那么根據x₁x₂=

c

a

＜0，由此可確定a的符號．由于拋物線對稱軸在y軸右側，因此拋物線的對稱軸方程大于0，據此可求出b的符號；
（2）根據圓周角定理，可得出∠ACB=90°，在直角三角形ACB中，根據射影定理可得出OC²=OA•OB，即c²=-x₁x₂=-

c

a

，由此可得出ac=-1，代入b²-4ac中即可得出證的條件；
（3）將b的值代入拋物線的解析式中，表示出M點和圓心的坐標，進而可求出圓的半徑，然后比較圓的半徑和M點縱坐標的大小關系即可．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸的交點在y軸正半軸，
∴c＞0，x₁x₂=

c

a

＜0，a＜0，
由于拋物線對稱軸在y軸右側，
因此拋物線的對稱軸方程大于0，
即-

b

2a

＞0，b＞0．
∴a＜0，b＞0，c＞0；

（2）設A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∵AC⊥CB，且C點坐標為（0，c），
∴Rt△AOC∽Rt△COB，
∴

c

x2

=

-x1

c

，
即x₁x₂=-c²=

c

a

，
∴ac=-1，
∴b²-4ac=b²+4＞4；

（3）M點在經過A，B，C三點的圓外，
理由如下：當b=2時，-

b

2a

=-

1

a

，

4ac-b2

4a

=

4×(-1)-22

4a

=-

2

a

，
∵AC⊥CB，
∴經過A，B，C三點的圓的圓心為AB的中點D（-

1

a

，0），
半徑為DC=

OC2+OD2

=

(- 1 a )2+c2

=

1+a2c2 a2

=-

2

a

，
又∵M點的坐標為（-

1

a

，-

2

a

），且a＜0，
∴DM=-

2

a

＞-

2

a

=DC，
∴M點在經過A，B，C三點的圓外．

點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系、韋達定理的應用以及點與圓的位置關系等知識．