Question

觀察下列方程和等式，尋找規律，完成問題：
①方程x²-7x+6=0，x₁=1，x₂=6，而x²-7x+6=（x-1）（x-6）；
②方程x²-4x-5=0，x₁=5，x₂=-1，而x²-4x-5=（x-5）（x+1）；
③方程4x²-12x+9=0，，，而；
④方程3x²+7x+4=0，，x₂=-1，而；…
（1）探究規律：當方程ax²+bx+c=0（a≠0）時，______；
（2）解決問題：根據上述材料將下列多項式分解：x²-x-2；2x²+3x-2
（3）拓廣應用：已知，如圖，現有1×1，a×a的正方形紙片和1×a的矩形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）在下面的虛線方框中拼成一個矩形（每兩個紙片之間既不重疊，也無空隙，拼出的圖中必須保留拼圖的痕跡），使拼出的矩形面積為2a²+5a+2，并標出此矩形的長和寬．

Answer 1

解：（1）∵方程ax²+bx+c=0，
方程的根為：x=，
∴ax²+bx+c=（x-）（x-）；

（2）∵x²-x-2=0，
x₁=2，x₂=-1，
∴x²-x-2；
=（x-2）（x+1）；
∵2x²+3x-2=0，
x₁=-2，x₂=，
∴2x²+3x-2，
=（x+2）（2x-1）；

（3）2a²+5a+2=0，
x₁=-，x₂=-2，
∴2a²+5a+2，
=（2a+1）（a+2），
∴此矩形的長和寬分別為：2a+1，a+2．
分析：（1）求出一元二次方程的根即可進行因式分解；
（2）利用x²-x-2=0，根為x₁=2，x₂=-1，以及2x²+3x-2=0，得出x₁=-2，x₂=，進而因式分解即可；
（3）根據2a²+5a+2=0，得出x₁=-，x₂=-2，即可得出此矩形的長和寬．
點評：此題主要考查了因式分解的應用，根據已知得出求出方程的根是解題關鍵．