Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l₁：交x軸、y軸于A、B兩點，點M（m，n）是線段AB上一動點，點C是線段OA的三等分點．
（1）求點C的坐標；
（2）連接CM，將△ACM繞點M旋轉180°，得到△A′C′M．
①當BM=AM時，連接A′C、AC′，若過原點O的直線l₂將四邊形A′CAC′分成面積相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；
②過點A′作A′H⊥x軸于H，當點M的坐標為何值時，由點A′、H、C、M構成的四邊形為梯形？

Answer 1

（1）根據(jù)題意：A（6，0），B（0，）
∵C是線段OA的三等分點
∴C（2，0）或C（4，0）

（2）①如圖，過點M作MN⊥y軸于點N，
則△BMN∽△BAO
∵BM=AM
∴BM=BA
∴BN=BO
∴N（0，）
∵點M在直線上
∴M（2，）
∵△A'C'M是由△ACM繞點M旋轉180°得到的
∴A'C'∥AC
∴無論是C₁、C₂點，四邊形A'CAC'是平行四邊形且M為對稱中心
∴所求的直線l₂必過點M（2，）
∴直線l₂的解析式為：
②當C₁（2，0）時，
第一種情況：H在C點左側
若四邊形A'HC₁M是梯形
∵A'M與HC₁不平行
∴A'H∥MC₁此時M（2，）
第二種情況：H在C點右側
若四邊形A'C₁HM是梯形
∵A'M與C1H不平行
∴A'C₁∥HM
∵M是線段AA'的中點
∴H是線段AC₁的中點
∴H（4，0）
由OA=6，OB=
∴∠OAB=60°
∴點M的橫坐標為5
∴M（5，）
當C₂（4，0）時，同理可得
第一種情況：H在C₂點左側時，M（4，）
第二種情況：H在C₂點右側時，M（，）
綜上所述，所求M點的坐標為：M（2，），M（5，），M（4，）或M（，）．
分析：（1）根據(jù)線段OA的三等分點確定點C的坐標即可；
（2）①過點M作MN⊥y軸于點N，利用相似三角形的性質(zhì)得到點N的坐標，利用平行線的性質(zhì)及平行四邊形的對稱性確定點M的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式即可；
②根據(jù)點C1的坐標，分點H在C點左側和點H在C點右側兩種情況并利用四邊形A'C₁HM是梯形求得點M的坐標即可．
點評：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，題目中還滲透了相似及旋轉的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大．