Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求這條拋物線所對應的函數關系式；
（2）在拋物線的對稱軸x=1上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點M的坐標；
（3）設點P為拋物線的對稱軸x=1上的一動點，求使∠PCB=90°的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的對稱軸可求出B點的坐標，進而可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）由于A、B關于拋物線的對稱軸直線對稱，若連接BC，那么BC與直線x=1的交點即為所求的點M；可先求出直線BC的解析式，聯立拋物線對稱軸方程即可求得M點的坐標；
（3）若∠PCB=90°，根據△BCO為等腰直角三角形，可推出△CDP為等腰直角三角形，根據線段長度求P點坐標．
解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，且A（-1，0），
∴B（3，0）；
可設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），由于拋物線經過C（0，-3），
則有：a（0+1）（0-3）=-3，a=1；
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；

（2）由于A、B關于拋物線的對稱軸直線x=1對稱，
那么M點為直線BC與x=1的交點；
由于直線BC經過C（0，-3），可設其解析式為y=kx-3，
則有：3k-3=0，k=1；
∴直線BC的解析式為y=x-3；
當x=1時，y=x-3=-2，
即M（1，-2）；

（3）設經過C點且與直線BC垂直的直線為直線l，作PD⊥y軸，垂足為D；
∵OB=OC=3，
∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，
∴P（1，-4）．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、軸對稱的性質以及特殊三角形的性質等知識，難度適中．