Question

如圖，在直角坐標系中，A（0，6），C（8，0），OA、AC的中點為M、N，動點P從O出發以每秒1個單位的速度按照箭頭方向通過C、N到M，設P點從O開始運動的路程為x，△AOP的面積為y．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點P從O出發到M止，求y與x的函數關系式；
（3）若⊙P的半徑為3，⊙N的半徑為1；在點P運動過程中，t為何值時⊙P與⊙N相切，（直接寫出t值）．

Answer 1

（1）設直線AC的解析式為：y=kx+b，由題意得：

6=b 0=8k+b

解得：

k=- 3 4 b=6

∴直線AC的解析式為：y=-

3

4

x+6

（2）①當0＜x≤8時，
y=

1

2

OP•AO
∵OP=t，AO=6
y=3x；
②當8＜x≤13時，由勾股定理可以求出：AC=10
∵N是AC的中點
∴NC=

1

2

AC=5
∵M是AO中點，
∴MN是△AOC得中位線
∴MN=

1

2

OC=4
作PE⊥OA于E
∴△AEP∽△AOC
∴

PE

OC

=

AP

AC

∴

PE

8

=

10-(x-8)

10

解得：
PE=

72-4x

5

∴y=

1

2

×6×

72-4x

5

即y=-

12

5

x+43

1

5

；

③當13＜x＜17時，
PN=x-13
∴MP=4-（x-13）=17-x
∴y=

1

2

×6×(17-x)
∴y=-3x+51

（3）利用三角形相似和勾股定理可以求出：
t=9或11或15或17或4+

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或4-

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