Question

探索研究
（1）觀察一列數2，4，8，16，32，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是

 

；根據此規律，如果a_n（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么a₁₈=

 

，a_n=

 

；
（2）如果欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰①
將①式兩邊同乘以3，得

 

②
由②減去①式，得S=

 

．
（3）用由特殊到一般的方法知：若數列a₁，a₂，a₃，…，a_n，從第二項開始每一項與前一項之比的常數為q，則a_n=

 

（用含a₁，q，n的代數式表示），如果這個常數q≠1，那么a₁+a₂+a₃+…+a_n=

 

（用含a₁，q，n的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得在這個數列中，從第二項開始，每一項與前一項之比是2；有第一個數為2，故可得a₁₈，a_n的值；
（2）根據題中的提示，可得S的值；
（3）由（2）的方法，依次可以推出a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，注意分兩種情況討論．

解答：解：（1）每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是2，
∴a₁₈=2¹⁸，a_n=2ⁿ；

（2）令s=1+3+3²+3³+…+3²⁰
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²¹
3S-S=3²¹-1
S=

1

2

(321-1)；

（3）∵第二項開始每一項與前一項之比的常數為q，
∴a_n=a₁q^n-1，
∵S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ①
∴qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ ②
②-①得：S_n=

a1(qn-1)

q-1

．
故答案為：2、2¹⁸、2ⁿ；3+3²+3³+3⁴+…+3²¹、

1

2

(321-1)；a₁q^n-1、

a1(qn-1)

q-1

．

點評：本題是一道找規律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題．本題的規律為：這個數列中，從第二項開始，每一項與前一項之比是2．要注意：第（3）題要注意分兩種情況討論．