Question

如圖，等邊△OAE，邊長為2，E在y軸上，O為坐標原點，正方形ABCD，B、C在x軸上．
（1）求經過A、D兩點拋物線的對稱軸；
（2）是否存在點P，滿足點P的縱坐標大于點D的縱坐標，且以A、D、P為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等）？若存在點P，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉，當BD所在直線與AE所在直線垂直時，求直線BD的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題的關鍵是求出A、D的坐標，由于三角形OAE是等邊三角形，因此直角三角形OAB中，∠AOB=30°，即AB=

1

2

OA=1，OB=

3

，據此可求出A、B兩點的坐標，即可得出經過兩點的對稱軸的解析式
（2）本題有四個符合條件的點P，如圖：
①延長OA交CD的延長線于點P，那么此時△PAD∽△AOB，在直角三角形OCP中，可根據OC的長，求出CP的長，即可得出P點坐標，那么P點關于（1）題的對稱軸的對稱點也符合題意，由此可求出另一個P點的坐標．
②過D作OP的垂線，設垂足為P′，那么△P′AD∽△BOA，在直角三角形APD中，過P′作AD的垂線不難求出P′點坐標，那么同①，P′關于（1）題的對稱軸的對稱點也符合題意，因此本題共有4個符合條件的P點．
（3）當BD與EA垂直時，有兩種情況，如圖：
①當BD與線段EA垂直時，那么直角三角形EHF中，∠FEH=60°，因此EF=2EH，EH的值可通過AE-AH求得，AE就是等邊三角形的邊長，而AH為正方形對角線的一半，據此的求出EF的長，也就求出了OF的長，同理在直角三角形OFN中，可根據OF的長和∠OFN的度數求出ON的長，即可得出F、N的坐標，用待定系數法可求出此時直線BD的解析式．
②當BD予線段EA延長線相交時，解法同①．

解答：解：（1）∵A（

3

，1），D（

3

+1，1），
故對稱軸為直線x=

2 3 +1

2

；

（2）P₁（

3

，1+

3

3

），P₂（

3

+1，1+

3

3

），P₃（

3

+

1

4

，1+

3

4

），
P₄（

3

+

3

4

，1+

3

4

）；

（3）當BD與邊AE垂直時，
EH=AE-AH=2-

2

2

，
∴EF=2EH=4-

2

，OF=2-

2

，
ON=

2 3 - 6

3

，
則F（0，

2

-2），N（

2 3 - 6

3

，0）
直線BD：y=

3

x+

2

-2
當BD與EA的延長線垂直時，
EK=2+

2

2

，則EG=2EK=4+

2

，
OG=2+

2

，
故直線BD：y=

3

x-

2

-2．

點評：本題考查了正方形和等邊三角形的性質、圖形的旋轉變換等，要注意的是（2）題中，要注意以A、D、P為頂點的三角形與△AOB相似但不包括全等的條件．