Question

如圖，已知E是邊長為4cm的正方形ABCD內一點，且DE=3，∠AED=90°，DF⊥DE于D，在射線DF上是否存在這樣的M，使得以C、D、M為頂點的三角形與△ADE相似？若存在，請求出滿足條件的DM長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：相似三角形對應角相等，對應邊比值相等，故使得△CDM中有一個角為直角即可證明△CDM與△ADE相似，分兩種情況①∠DMC=90°、②∠DCM′=90°討論即可解題．

解答：解：∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠AED=90°，
所以使得△CDM中有一個直角即可，
①∠DMC=90°，DM=DE=3cm，
②∠DCM′=90°，

DM′

DC

=

DA

DE

，DM′=

16

3

cm，
故存在M點，當DM=3cm或

16

3

cm時，△CDM與△ADE相似．

點評：本題考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，相似三角形對應角相等的性質，討論∠DMC=90°或∠DCM′=90°是解題的關鍵．