Question

【題目】△CDE和△AOB是兩個等腰直角三角形，∠CDE＝∠AOB＝90°，DC＝DE＝1，OA＝OB＝a（a＞1）．

（1）將△CDE的頂點D與點O重合，連接AE，BC，取線段BC的中點M，連接OM．

①如圖1，若CD，DE分別與OA，OB邊重合，則線段OM與AE有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結果；

②如圖2，若CD在△AOB內部，請你在圖2中畫出完整圖形，判斷OM與AE之間的數量關系是否有變化？寫出你的猜想，并加以證明；

③將△CDE繞點O任意轉動，寫出OM的取值范圍（用含a式子表示）；

（2）是否存在邊長最大的△AOB，使△CDE的三個頂點分別在△AOB的三條邊上（都不與頂點重合）？如果存在，請你畫出此時的圖形，并求出邊長a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①OM＝AE；②OM＝AE，證明詳見解析；③≤OM≤；（2）存在，．

【解析】

（1）①利用△CDE≌△AOB得出BC＝AE，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解．

②作輔助線，利用△COF≌△EOA及三角形中位線得出OM＝AE．

③分兩種情況，當OC與OB重合時OM最大，當OC在BO的延長線上時OM最小，據此求出OM的取值范圍．

（2）分兩種情況：當頂點D在斜邊AB上時，設點C，點E分別在OB，OA上．由DM+OM≥OF求出直角邊a的最大值；當頂點D在直角邊AO上時，點C，點E分別在OB，AB上時，利用△EHD≌△DOC，得出OD＝EH，在Rt△DHE中，運用勾股定理ED2＝DH2+EH2，得出方程，由△判定出a的最大值．

解：（1）①∵△CDE和△AOB是兩個等腰直角三角形，

∴CD＝ED，AO＝B0，∠CDE＝∠AOB，

在△CDE和△AOB中，

∴△CDE≌△AOB（SAS），

∴BC＝AE

∵M為BC中點，

∴OM＝BC，

∴OM＝AE．

②猜想：OM＝AE．

證明：如圖2，延長BO到F，使OF＝OB，連接CF，

∵M為BC中點，

∴OM＝CF，

∵△CDE和△AOB是兩個等腰直角三角形，

∴CD＝ED，AO＝BO＝OF，∠CDE＝∠AOB，

∵∠AOC+∠COB＝∠BOE+∠COB＝90°，

∴∠AOC＝∠BOE，

∠FOC＝∠AOE，

在△COF和△EOA中，

∴△COF≌△EOA，

∴CF＝AE，

∴OM＝AE．

③Ⅰ、如圖3，當OC與OB重合時，OM最大，

OM＝

Ⅱ、如圖4，當OC在BO的延長線上時，OM最小，

OM＝﹣1＝，

所以≤OM≤，

（2）解：根據△CDE的對稱性，只需分兩種情況：

①如圖5，

當頂點D在斜邊AB上時，設點C，點E分別在OB，OA上． 作OF⊥AB于點F，取CE的中點M，連接OD，MD，OM．

∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CDE＝90°，OA＝OB＝a（a＞1），DC＝DE＝1，

∴AB＝a，OF＝AB＝a，

∴CE＝，DM＝CE＝，

在RT△COE中，OM＝CE＝，

在RT△DOM中，DM+OM≥OD，

又∵OD≥OF，

∵DM+OM≥OF，即+≥a，

∴a≤2，

∴直角邊a的最大值為2．

②如圖6，

當頂點D在直角邊AO上時，點C，點E分別在OB，AB上，作EH⊥AO于點H．

∵∠AOB＝∠CDE＝∠DHE＝90°，

∵∠HED+∠EDH＝∠CDO+∠EDH＝90°，

∴∠HED＝∠CDO，

∵DC＝DE，

在△EHD和△DOC中，

∴△EHD≌△DOC（AAS）

設OD＝x，

∴OD＝EH＝AH＝x，DH＝a﹣2x，

在Rt△DHE中，ED2＝DH2+EH2，

∴1＝x2+（a﹣2x）2，

整理得，5x2﹣4ax+a2﹣1＝0，

∵x是實數，

∴△＝（4a）2﹣4×5×（a2﹣1）＝20﹣4a2≥0，

∴a2≤5，

∴a2的最大值為5，

∴a的最大值為．

綜上所述，a的最大值為．