Question

在△ABC中，AB=AC，AC⊥BA，M為BC邊中點，一等腰直角三角尺的直角頂點P在BC邊上移動，兩直角邊分別與AB，AC交于E，F兩點且斜邊與BC平行．
（1）在圖1中，當三角尺的直角頂點P恰好移動到M點時，請你通過觀察、測量，猜想并寫出ME與MF滿足的數量關系及位置關系，然后證明你的猜想；
（2）當三角尺的直角頂點P沿BC方向移動到圖2所示的位置時，請你通過觀察、測量、猜想并寫出ME與MF滿足的數量關系及位置關系，然后證明你的猜想；
（3）當三角尺在（2）的基礎上沿BC方向繼續向右平移到圖3所示的位置（點P在線段BC的延長線上，三角尺兩直角邊所在直線與△ABC的兩邊BA，AC的延長線分別交于點E，F，且點P與點C不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）

Answer 1

解：（1）ME=MF，ME⊥MF．
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵BM=CM，∠BME=CMF
∴△BEM≌△CFM
∴ME=MF
∵∠EMA+∠AMF=∠FMC+∠AMF=∠AMC=90°
∴ME⊥MF

（2）ME=MF，ME⊥MF；
證明：連接AM
∵△ABC是等腰直角三角形，M為斜邊BC的中點
∴AM=BC=CM，AM⊥BC，∠EAM=∠C=45°
∴∠AMC=90°
∵兩個三角形是等腰直角三角形，且斜邊平行，直角頂點P在斜邊BC上移動
∴四邊形AEPF為長方形
∴AE=PF=CF
∴△AEM≌△CFM
∴ME=MF，∠AME=∠CMF
∴∠EMA+∠AMF=∠FMC+∠AMF=∠AMC=90°
∴ME⊥MF

（3）ME=MF，ME⊥MF仍然成立．
分析：（1）ME=MF，ME⊥MF．根據已知條件容易證明Rt△BEM≌Rt△CFM，然后就可以得到結論；
（2）結論仍然成立．連接AM，根據等腰直角三角形的性質知道∠AMC=90°，而兩個三角形是等腰直角三角形，且斜邊平行，直角頂點P在斜邊BC上移動，由此得到四邊形AEPF為矩形，進一步得到AE=PF=CF，然后就可以證明△AEM≌△CFM，利用全等三角形的性質就可以證明結論了；
（3）仍然成立．連接AM，和（2）一樣，證明△AEM≌△CFM，然后利用全等三角形的性質就可以證明結論．
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定與性質；把圖形的變換放在等腰直角三角形的背景中，充分發揮其性質來探究圖形變換的規律．