Question

如圖，拋物線y=ax²+4經過x軸上的一點A（-2，0），P是拋物線上的一動點，以P為圓心作⊙P；
（1）求a的值；
（2）是否存在一個⊙P與兩坐標軸的正半軸都相切？若存在，請你求⊙P的半徑；若不存在，請說明理由．
（3）若⊙P的半徑為，當⊙P與直線y=x-5相切時，求P點的坐標．

Answer 1

解：（1）把A（-2，0）代入y=ax²+4得：
4a+4=0，
∴a=-1；

（2）根據a=-1，則y=-x²+4，
設P（x，-x²+4），利用⊙P與兩坐標軸的正半軸都相切，
則x=-x²+4，
解得：x₁=，x₂=（不合題意舍去），
則當⊙P與兩坐標軸的正半軸都相切時，
⊙P的半徑為；

（3）如圖，作PM∥y軸，交DE于M，作PN⊥DE于N，
易求直線y=x-5與兩坐標軸的交點為E（0，-5），D（5，0）
所以∠PMD=∠OED=45°
∴，
若⊙P與直線y=x-5相切，則，
∴…
設P（x，-x²+4），則M（x，x-5）
①當P在M的上方時，PM=-x²+4-（x-5）=3，
解得：x=-3或2
∴P₁（-3，-5）P₂（2，0）
②當P在M的下方時，PM=x-5-（-x²+4）=3，
解得：x=-4或3…
∴（-4，-12）P₄（3，-5）．
分析：（1）根據拋物線y=ax²+4經過x軸上的一點A（-2，0），把A點代入y=ax²+4即可求出a的值；
（2）根據設P（x，-x²+4），利用⊙P與兩坐標軸的正半軸都相切，則x=-x²+4求出即可，
（3）利用①當P在M的上方時，PM=-x²+4-（x-5）=3，②當P在M的下方時，PM=x-5-（-x²+4）=3，分別求出即可．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及直線與圓的位置關系等知識，利用在圖象上點的坐標特點表示出線段長度是解題關鍵．