Question

如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線EF與AB，CD的延長(zhǎng)線分別交于E，F(xiàn)．

（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，以A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的對(duì)角線互相平分），
AE∥CF（矩形的對(duì)邊平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）解：當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的對(duì)角線互相平分）．
又由（1）△BOE≌△DOF得，
OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
又EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．