Question

（2011•秀洲區(qū)一模）已知a，b是正整數(shù)，若有序數(shù)對(duì)（a，b）使得2(

1 a

+

1 b

)的值也是整數(shù)，則稱（a，b）是2(

1 a

+

1 b

)的一個(gè)“理想數(shù)對(duì)”，如（1，4）使得2(

1 a

+

1 b

)=3，所以（1，4）是2(

1 a

+

1 b

)的一個(gè)“理想數(shù)對(duì)”．請(qǐng)寫出2(

1 a

+

1 b

)其它所有的“理想數(shù)對(duì)”：

（1，1）、（4，1）、（4，4）、（16，16）、（9，36）、（36，9）

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知假設(shè)a的值，分別進(jìn)行分析討論得出使得2(

1 a

+

1 b

)的值也是整數(shù)時(shí)，b的值，進(jìn)而得出答案．

解答：解：當(dāng)a=1，

1 a

=1，要使2(

1 a

+

1 b

)為整數(shù)，

1 b

=1或

1

2

時(shí)，2(

1 a

+

1 b

)分別為4和3，
得出（1，4）（1，1）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想數(shù)對(duì)”，
當(dāng)a=4，

1 a

=

1

2

，要使2(

1 a

+

1 b

)為整數(shù)，

1 b

=1或

1

2

時(shí)，2(

1 a

+

1 b

)分別為3和2，
得出（4，1）（4，4）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想數(shù)對(duì)”，
當(dāng)a=9，

1 a

=

1

3

，要使2(

1 a

+

1 b

)為整數(shù)，

1 b

=

1

6

時(shí)，2(

1 a

+

1 b

)=1，
得出（9，36）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想數(shù)對(duì)”，
當(dāng)a=16，

1 a

=

1

4

，要使2(

1 a

+

1 b

)為整數(shù)，

1 b

=

1

4

時(shí)，2(

1 a

+

1 b

)=1，
得出（16，16）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想數(shù)對(duì)”，
當(dāng)a=36，

1 a

=

1

6

，要使2(

1 a

+

1 b

)為整數(shù)，

1 b

=

1

3

時(shí)，2(

1 a

+

1 b

)=1，
得出（36，9）是2(

1 a

+

1 b

)的“理想數(shù)對(duì)”，
即其它所有的“理想數(shù)對(duì)”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（16，16）、（9，36）、（36，9）．
故答案為：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（16，16）、（9，36）、（36，9）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，解決此題的關(guān)鍵是分類討論思想，得出a、b可能的取值．