Question

【題目】如圖1，在正方形中，，點在邊上，且，以點為圓心，為半徑在其左側作半圓，分別交)于點，交的延長線于點．

　　　

（1） ；

（2）如圖2，將半圓繞點逆時針旋轉，點的對應點為，點的對應點為；設為半圓上一點．

①當點落在邊上時，求點與線段之間的最短距離；

②當半圓交于兩點時，若的長為，求此時半圓與正方形重疊部分的面積；

③當半圓與正方形的邊相切時，設切點為，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點到的最短距離為，②此時半圓與正方形重疊部分的面積為；③

【解析】

（1）連接GO，根據已知條件，在△DGO中利用勾股定理即可求解；

（2）①如圖，過點O'作O'H⊥BC，根據三點共線及垂線段最短可得此時MH即為點M到BC的最短距離，根據已知求得HQ、O'Q、O'M，而MH=HQ- O'Q- O'M即可求得；

②如圖，根據的長可以求出∠PO'R=60°，此時半圓與正方形重疊部分的面積為,即可求得答案；

③當半圓與正方形的邊相切時有三種情況，分別作圖，

第一種情況：當半圓與BC邊相切時，連接O'N，，過點E作ET⊥O'N于T，連接EN，過點E作EK⊥DN于K，再依據勾股定理以及等面積法求得EK、NK的值，進而可以求得；

第二種情況：當半圓與AB邊相切時,連接DN，如圖，根據已知條件可以判斷四邊形ANED是矩形，進而可以求得；

第三種情況：當半圓O'與CD相切于點N時，此時點N與點E重合，不存在．

（1）連接GO，如圖：

∵四邊形ABCD是正方形，AB=10，

∴DC=AD=10，∠ODG=90°，

∵CE=2，DO=3，

∴OG=OE=DC-DO-CE=10-3-2=5，

∴DG==4，

∴AG=AD-DG=10-4=6．

故答案為6．

（2）①如圖，過點O'作O'H⊥BC于點H，交半圓O'于點M,反向延長HO交AD于

點Q，則∠QHC=90°，

根據三點共線及垂線段最短可得此時點M到BC的距離最短，

∵∠C=∠D=∠QHC=90°，

∴四邊形QHCD是矩形，

∴HQ=CD=10，HQ//CD，

∵點O'是EF'的中點， 點Q是DF'的中點，

∵DE=8，

∴O'Q=DE=4，

∴O'H=10-4=6，

∵CE=2，DO=3，

∴OE=10-2-3=5，即半圓O的半徑為5，

∴MH=HQ- O'Q- O'M=10-4-5=1，

即點M到BC的最短距離為1．

②由①可知半圓O的半徑為5，如圖

設∠PO'R的度數為，

由題意得： 的長為=，

∴∠PO'R=60°，

∴∠F'O'P+∠EO'R=120°，

，

∵O'R=P O'，

∴△O'RP是等邊三角形，

∴．

∴此時半圓O'與正方形重疊部分的面積為．

③第一種情況：當半圓O'與BC相切于N時，連接O'N，，過點E作ET⊥O'N于T，連接EN，

則TN=EC=2，如圖：

∵ON=O'E=5，

∴O'T=ON-TN=5-2=3

∴ CN2=TE2= O'E2- O'T2

∴ CN=TE= =4，

∴=，

=，

過點E作EK⊥DN于K，

∵=EKDN=DECN，

∴EK===，

∵==，

∴，

∴NK=，

∴==；

第二種情況：當半圓O'與AB相切于點N時，連接DN，如圖

∵EN⊥AB，

∴四邊形ANED是矩形，

∴==，

第三種情況：當半圓O'與CD相切于點N時，此時點N與點E重合，不存在，

綜上所述，的值為 或．