Question

如圖1，已知拋物線的頂點為A（0，1），矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，點D、E在x軸上，CF交y軸于點B（0，2），且其面積為8：
（1）此拋物線的解析式；
（2）如圖2，若點P為所求拋物線上的一動點，試判斷以點P為圓心，PB為半徑的圓與x軸的位置關系，并說明理由．
（3）如圖2，設點P在拋物線上且與點A不重合，直線PB與拋物線的另一個交點為Q，過點P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為N、M，連接PO、QO．求證：△QMO∽△PNO．

Answer 1

解：（1）∵點B（0，2），
∴OB=2，
又∵CF•OB=8，
∴CF=4，
由題意可知，點C（-2，2），點F（2，2），
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則，
∴拋物線的解析式為y=x²+1；

（2）設P點的坐標為（x₀，x₀²+1），
則PB==x₀²+1，
又點P到x軸的距離為x₀²+1，
∴以點P為圓心、PB為半徑的圓與x軸相切；


（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，
∵PN、QM垂直x軸，
∴QM∥BO∥PN，
∴=，
∴=，
∵∠QMO=∠PNO=90°，
∴△QMO∽△PNO．
分析：（1）先根據點B（0，2），CF•OB=8，可知CF=4，由矩形的性質可得出C、F點的坐標，再用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）設P點的坐標為（x₀，x₀²+1），利用兩點間的距離公式可得出PB的長，再根據P到x軸的距離為x₀²+1即可得出結論；
（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，再根據PN、QM垂直x軸可得出QM∥BO∥PN，由平行線分線段成比例定理及∠QMO=∠PNO=90°即可得出△QMO∽△PNO．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到待定系數法求二次函數的解析式、兩點間的距離公式、切線的性質、平行線的判定與性質、相似三角形的判定，涉及面較廣，難度較大．